완숙의 블로그

Mixed Random Variable 혼합형 랜덤 변수는 쉽게 말해, 이산 랜덤 변수와 연속 랜덤 변수의 특징을 둘다 갖고 있는 확률 분포를 말한다. 그런데 지금까지 배운 것을 다시 생각해보면, 이산 확률 변수와 연속 확률 변수의 본질은 다르다. 이산 확률 변수에 대한 확률 함수를 나타내 보면, 함수값 자체가 확률을 의미하고, (확률 질량 함수) 연속 확률 변수에 대한 확률 함수를 보면, 기본적으로, 적분값이 확률이다. (확률 밀도 함수) 그리고 애초에 우리는 이산 확률 변수에 대해 공부할 때, CDF와 P(x)만 공부했다. PDF는 다루지 않았다. 그렇다면 이제 P(x)를 가지고 연속 확률 변수와 같이 통합을 해줘야 할 필요성이 생겼는데, 어떻게 하면 될까? Delta Function 이 때, 단위 ..

Uniform Random Variable 균등 랜덤 변수 Exponential Random Variable 지수 랜덤 변수 지수 랜덤변수 X를 가지고 새로운 랜덤변수를 정의해보자. 랜덤변수 K를 X를 넘는 최소정수라 했을 때 K는 기하 랜덤변수이다. 기하 랜덤 변수는, 직관적으로 이해할 때, n번째 고객이 방문할 확률이라고 생각할 수 있다. 이것을 연속확률변수로 표현한 것이 지수 랜덤 변수이다. Erlang Random Variable 얼랑 랜덤 변수 식을 보면 이게 무슨 뜻인지 이해하기 힘들다. 지수 랜덤 변수가 기하 랜덤 변수를 연속 확률 변수로 가져온 것이라 생각하면 얼랑 랜덤 변수는 파스칼 랜덤 변수를 연속 확률 변수로 가져온 것이라 생각하면 된다. 이것에 대한 증명은, 중심 극한 정리를 배우고..

확률 밀도 함수는 고등학생 때 배워와서 비교적 친근하 것이다. 그런데, 내가 공부를 하며 궁금했던 점은, 왜 확률밀도함수의 함수값이 확률을 뜻하는 것이 아닌, 넓이가 확률이냐는 점이었다. 그리고 왜 밀도함수인지 정확한 이유도 알기 힘들었다. 그에 대한 답을 링크로 대체하고 시작하겠다. 확률질량, 확률밀도함수의 의미? 누적 분포 함수(CDF) 정리 확률 밀도 함수(PDF) 랜덤 변수 X가 (x1, x1 + delta] 라는 너비에 속해있을 때 확률 p1은. CDF의 정리에 의해, CDF의 그래프에서 볼때, 이 값은 평균기울기에 해당한다. 이 때, delta를 무한히 작게 하면, 결국 p1은 밀도에 부피를 곱한 것처럼, CDF의 기울기와 구간너비의 곱으로 표현 가능하다. 우리는 이 식중, CDF를 미분한 녀..

유도된 랜덤변수 랜덤 변수 X를 송수신한 데이터의 메가바이트 단위의 양이라고 하자. 그리고 Y를 해당 월의 요금이라고 하자. 그렇다면 Y와 X는 어떠한 함수로서 표현이 가능할 것이다. 이 때 Y를 유도된 랜덤변수 라고 한다. 유도된 랜덤변수의 PMF 자 여기서 X는 이산 랜덤변수이기 때문에, 랜덤 변수 X 는 PMF를 갖는다. 이 정보를 가지고 우리는 을 구할 수 있다. 그런데 우리는 Y의 값에 따른 확률, 즉 Y의 PMF를 구해야 한다. Y와 X간의 관계가 정의되어 있고, X도 이산 랜덤변수이므로, Y역시 이산랜덤변수이다. 따라서 랜덤 변수 Y도 PMF를 가지게 된다. 그런데 여기서 X의 값에 따라 Y의 값이 결정되는데, 이해를 돕기 위해 예를 들어보자. 이런 관계를 갖고 있다고 할 때, $X=2, X..

Cumulative Distribution Function, CDF 이산 랜덤변수인 경우에는 x 이하 모든 변수의 값을 더한다. 연속 랜덤변수인 경우에는 -무한대로 부터 해당 랜덤변수값까지의 적분값이다. 특정한 범위에 속할 확률 Mean 평균은 확률실험의 관찰 값들의 집합을 대변하는 수이다. 기댓값은 확률 실험의 확률 모델을 나타내는 수이다. 평균과 기댓값을 우리는 같은 단어로 지금까지는 생각해 왔을지 모른다. 하지만 이것은 약간의 다른점이 존재하는데, 평균 값은 실제 실험이 진행된 결과 집합에 대해 이를 대변하는 수이고, 기댓값 은 내가 만든 확률 모델의 집합을 대변하는 수이다. 기댓값의 계산 Sample space 의 원소에 속하는 각각의 x에 대해 그 해당 확률을 곱하고 모두 더한 것. 이 식은, ..

Bernoulii Random Variables 두 개의 가능한 결과만을 갖는 부분확률 실험을 베르누이 시행이라 한다. Geometric Random Variables 두 개의 결과 중 어떤 한 특정 결과를 최초로 관찰할 때 까지의 베르누이 시행 횟수를 기하랜덤변수라 한다. p는 마지막에 결과가 출력되는 확률! Binomial Random Variables n번 시행중 x 번이 나오는 횟수를 X라 하면, X는 이항 랜덤 변수이다. Pascal Random Variables 특정 시행 횟수를 만족할 때까지의 확률을 계산한 PMF 가 있다면 이는 파스칼 랜덤 변수이다. 식을 잠깐 뜯어보면, x번째에서 k번 성공할 확률은, x-1번째까지의 경우에서 k-1 번째까지 성공할 경우를 모두 구하고 마지막에 x번째에서..

Random Variables 랜덤 변수는 확률실험의 표본 공간의 원소인 결과들에 수를 부여하는 것이다. 여태까지 우리는 표본 공간, 사건과 같은 용어를 정립하고, 이 표본 공간과 사건에 대응되는 확률이 어떻게 구성되는지 공부했다. 그런데, 특정 사건을 관측했을 때, 내가 어떤 것에 목적을 두냐에 따라서 같은 표본 공간도 다르게 그룹화를 해서 판단을 해야한다. 예를 들어보자. 6개의 회로를 검사하여 합격(a) 인지, 불합격(r) 인지 관측하는 확률 실험을 생각하자. 이때, 각각의 관측은 6개가 나열된 수열로 나타낼 수 있다. (aaraar) 이 표본 공간 S는 64가지의 가능한 방법으로 구성되어 있다. 그런데, 내가 만약 N은 합격받은 회로의 개수 라고 하면, 이것에 대한 결과는 {0,1,2,3,4,5,..

확률 모델에서는 개개의 사건에 0과 1 사이의 실수를 부여하고 이를 그 사건의 확률이라 한다. 상호배타적인 사건들의 합집합의 확률은 그 합집합을 구성하는 개개의 사건의 확률의 합이 된다. 저번까지 확률과 집합론은 연결한 결과는 다음과 같다. Set TheoryProbability 부분집합사건전체집합표본공간원소결과 그렇다면 전체집합 S 에서, 각각의 부분집합인 사건에 대해 확률을 부가하는 일이 남아있다. Axioms of Probability 확률 P[.] 란 표본공간에서 정의되는 사건에 다음을 만족하는 실수를 부여하는 함수 이다. 공리1 : 임의의 사건 A에 대해서 P[A] >= 0 이다. 공리2 : P[S] = 1 공리3 : 상호배타적인 사건 A1, A2 ... 에 대해 이 공리 3개로 부터 모든 정의..