[Stochastic Process] 7 - PDF(Probability density Function), CDF(Cumulative Distribution Function)

확률 밀도 함수는 고등학생 때 배워와서 비교적 친근하 것이다.

 

그런데, 내가 공부를 하며 궁금했던 점은,

왜 확률밀도함수의 함수값이 확률을 뜻하는 것이 아닌,

넓이가 확률이냐는 점이었다.

 

그리고 왜 밀도함수인지 정확한 이유도 알기 힘들었다.

그에 대한 답을 링크로 대체하고 시작하겠다.

확률질량, 확률밀도함수의 의미?

 

 

누적 분포 함수(CDF)

 

$$F_X(x)\;=\;P[X \le x]$$

 

정리

$$1. \;F_X(-\infin)=0\\ \;\\ 2.\;F_X(\infin)=1\\ \;\\ 3.\;P[x_1\le X \le x_2]\;=\;F_X(x_2)-F_X(x_1)$$

 

 

확률 밀도 함수(PDF)

 

랜덤 변수 X가 (x1, x1 + delta] 라는 너비에 속해있을 때 확률 p1은.

CDF의 정리에 의해,

 

 

$$p_1 = P[x_1 \le X \le x_1+\Delta]=F_X(x_1 + \Delta)=F_X(x_1)$$

 

 

 

CDF의 그래프에서 볼때, 이 값은 평균기울기에 해당한다.

 

이 때, delta를 무한히 작게 하면,

 

$$p_1 ={F_X(x_1 + \Delta)-F_X(x_1) \over \Delta}\Delta\\ \;\\ \lim_{\Delta \rightarrow 0} p_1\;=\;{dF_X(x) \over dx}\Delta$$

 

 

결국 p1은 밀도에 부피를 곱한 것처럼, CDF의 기울기와 구간너비의 곱으로 표현 가능하다.

우리는 이 식중, CDF를 미분한 녀석을 PDF라 정의하고 확률 밀도 함수라 한다.

 

 

 

$$f_X(x)\;=\;{dF_X(x)\over dx}$$

 

 

그렇기 때문에 CDF가 연속함수일 경우 X는 연속확률변수이다.

 

 

정리

 

$$1. \;f_X(x) \le 0 \; for \; al l \;x \\\;\\ 2.\;F_X(x)\;=\;\int_{-\infin}^{x}f_X(u)du \\\;\\ 3. \int_{-\infin}^{\infin}f_X(x)dx\;=\;1 \\\;\\ 4. \;P[x_1 \le X\; \le x_2]\;=\;\int_{x_1}^{x_2}f_X(x)dx$$

 

 

 

기댓값

 

$$E[X]\;=\; \int_{-\infin}^{\infin}xf_X(x)dx$$

 

 

유도된 확률변수의 기댓값

 

$$W\;=\;g(X), \\\;\\ E[W]=E[g(X)]=\int_{-\infin}^{\infin}g(x)f_X(x)dx$$