[Stochastic Process] 8 - Category of Continuous Random Variable

Uniform Random Variable

• 균등 랜덤 변수

 

 

$$f_X(x)\;=\;\begin{cases} 1/(b-a) & \mbox a \le x < b \\ 0 & \mbox otherwise \end{cases}$$

 

$$F_X(x)\;=\;\begin{cases} 0 & \mbox x \le a, \\ (x-a)(b-a) & \mbox a \le x < b, \\ 1 & \mbox x \ge b. \end{cases}$$

 

$$E[X]\;=\;(b+a)/2\\ \;\\ Var[X]\;=\;(b-a)^2/12$$

 

 

 

Exponential Random Variable

• 지수 랜덤 변수

 

$$f_X(x)\;=\;\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \mbox t \ge 0, \\ 0 & \mbox otherwise \end{cases}$$

 

$$F_X(x)\;=\;\begin{cases} 1-e^{-\lambda x} & \mbox x \ge 0, \\ 0 & \mbox otherwise, \end{cases}$$

 

$$E[X]\;=\;{1 \over \lambda}\\ \;\\ Var[X]\;=\;{1 \over \lambda^2}$$

 

지수 랜덤변수 X를 가지고 새로운 랜덤변수를 정의해보자.

랜덤변수 K를 X를 넘는 최소정수라 했을 때

K는 기하 랜덤변수이다.

 

$$K\;=\;\ulcorner X \urcorner$$

 

 

기하 랜덤 변수는, 직관적으로 이해할 때,

n번째 고객이 방문할 확률이라고 생각할 수 있다.

이것을 연속확률변수로 표현한 것이 지수 랜덤 변수이다.

 

Erlang Random Variable

• 얼랑 랜덤 변수

 

$$f_X(x)\;=\;\begin{cases} {\lambda ^ n x^{n-1}e^{-\lambda x}/(n-1)!}& \mbox a \le x < b \\ \\ 0 & \mbox otherwise \end{cases}$$

 

식을 보면 이게 무슨 뜻인지 이해하기 힘들다.

지수 랜덤 변수가 기하 랜덤 변수를 연속 확률 변수로 가져온 것이라 생각하면

얼랑 랜덤 변수는 파스칼 랜덤 변수를 연속 확률 변수로 가져온 것이라 생각하면 된다.

 

이것에 대한 증명은, 중심 극한 정리를 배우고 난 뒤 증명하는 것으로 하자.

 

$$E[X]\;=\;{n \over \lambda}\\ \;\\ Var[X]\;=\;{n \over \lambda^2}$$

 

 

 

 

Poisson Process

서비스 시설을 이용하는 고객들의 도착시간을 모델링 해보자.

lambda는 일초 당 도착하는 평균 비율이다.

 

1. tau 분 동안 도착하는 고객의 수

   포아송 랜덤 변수(alpha = lambda * tau) 를 따른다.

    

2. 한 고객의 도착 시간까지 기다리는 시간

   연속 : 지수 랜덤 변수(lambda)

   이산 : 기하 랜덤 변수(lambda) (p = 1 - exp(-lambda))

    

3. n명 까지 도착할 때 기다리는 시간

   연속 : 얼랑 랜덤 변수(n , lambda)

   이산 : 파스칼 랜덤 변수(n , lambda)

 

 

 

Gaussian Random Variable

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$$f_X(x)\;=\;{1 \over \sqrt {2 \pi \sigma^2}}e^{-(x- \mu)^2/2\sigma ^2}$$

 

 

또는 X가 가우시안 랜덤 변수를 따른다면,

 

$$N[\mu , \sigma^2]\\ \;\\ Var[X]\;=\;\sigma^2$$

 

랜덤 변수 Y가 X로 부터 유도된 랜덤 변수를 갖는다면,

 

$$Y\;=\;aX+b\\ \;\\ X \sim N[\mu, \sigma] \\\;\\ Y \sim N[a\mu+b, a\sigma]$$

 

 

표준 정규 랜덤 변수의 CDF

표준 정규 랜덤 변수 Z란, 가우시안 (0, 1) 랜덤 변수를 의미한다.

 

 

$$\Phi(z)\;=\;{1 \over \sqrt{2 \pi}}\int_{-\infin}^ze^{-u^2/2}du$$

 

표준 정규 랜덤 변수는, 표가 존재한다.

가우시안 랜덤 변수가 너무많이 나와 이녀석을 만들었다고 생각하면 된다.

 

그렇다면 내가 조사하고 싶은 변수가 가우시안 랜덤 변수를 따른다는 것을 알았다면,

어떻게 표준 정규 랜덤 변수의 CDF로 바꿀 수 있을까?

 

 

 

가우시안 랜덤 변수 X와 표준 정규 랜덤 변수의 관계

 

X가 가우시안 랜덤 변수일 때, X의 CDF는 다음과 같다.

 

$$F_X(x)\;=\;\Phi({x-\mu\over \sigma})\\ \;\\ P[a<X\le b]\;=\;\Phi({b-\mu\over \sigma})-\Phi({a-\mu\over \sigma})$$

 

즉,

 

$$z\;=\;{x- \mu \over \sigma}$$

 

과 같은 관계를 만족한다.

 

 

 

$$\Phi(-z)\;=\;1-\;\Phi(z)$$