[Stochastic Process] 10 - Multi Random Variables (복수의 랜덤 변수)

결합 누적 분포 함수 (joint cummulatice Distribution Function)

 

 

 

 

 

이산일 때,

 

 

 

 

 

$$F_{X, Y}(x, y)\;=\;P[X \le\;x, \;Y\;\le\;y]$$

 

 

 

 

 

연속일 때,

 

 

 

 

 

$$F_{X, Y}(x, y)\;=\;\int_{-\infin}^{\infin}\int_{-\infin}^{\infin}f_{X, Y}(u, v)dvdu$$

 

 

 

 

 

결합 확률 함수

 

결합 확률 질량 함수 (Joint Probability Mass Function)

 

 

 

 

 

$$P_{X, Y}(x, y)\;= \; P[X\;=\;x,\;Y\;=\;y]$$

 

 

 

확률 구하기

 

 

 

 

 

$$P[B]\;=\;\sum_{(x, y)\in B}P_{X, Y}(x, y)$$

 

 

 

 

 

결합 확률 밀도 함수(Joint Probability Density Function)

 

 

 

 

 

$$f_{X, Y}(x, y)\;=\;{\partial^2 F_{X,Y}(x, y)\over \partial x \partial y }$$

 

 

확률 구하기

 

 

 

 

 

 

$$P[A]\;=\;\int\int_A f_{X, Y}(x, y)dxdy$$

 

 

 

 

 

 

 

한계 확률 함수 (Marginal Function)

 

한계 확률 질량 함수 (Marginal PMF)

 

 

 

 

 

$$P_X(x)\;=\;\sum_{y \in S_Y}P_{X, Y}(x, y)\;\\ \;\\ \;\\ \;\\ \;\\ \;\\ \;\\ \;\\ P_Y(y)\;=\;\sum_{x \in S_X}P_{X, Y}(x, y)$$

 

 

 

 

 

 

한계 확률 밀도 함수 (Marginal PDF)

 

 

 

 

 

$$f_X(x)\;=\;\int_{-\infin}^{\infin}f_{X,Y}(x,y)dy \;\\ \;\\ \;\\ \;\\ \;\\ \;\\ \;\\ \;\\ \;\\ \;\\ f_Y(y)\;=\;\int_{-\infin}^{\infin}f_{X,Y}(x,y)dx$$

 

 

 

 

 

 

 

두 랜덤 변수를 인자로 가지는 함수의 기댓값

 

 

 

 

유도된 랜덤 변수 W 가 랜덤변수 X, Y 와 다음의 관계가 있다고 할 때,

 

 

 

 

 

 

$$W\;=\;g(x, y)$$

 

 

 

 

 

 

이산일 때,

 

 

 

 

 

 

$$E[W]\;=\;\sum_{x \in S_X}\sum_{y \in S_Y}g(x, y)P_{X, Y}(x, y)$$

 

 

 

 

연속일 때,

 

 

 

 

 

 

 

$$E[W]\;=\;\int_{-\infin}^{\infin}\int_{-\infin}^{\infin}g(x, y)f_{X, Y}(x, y)dxdy$$

 

 

 

 

 

 

유도된 랜덤 변수가 합으로 표현될 때 평균(중요)

 

 

 

 

 

 

$$E[X+Y]\;=\;E[X]+E[Y]$$

 

 

 

 

 

 

유도된 랜덤 변수가 합으로 표현될 때 분산(중요)

 

 

 

 

 

 

 

$$Var[X+Y]\;=\;Var[X]\;+\;Var[Y]\;+\;2E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]$$