[Stochastic Process] 11 - 유도된 확률 변수의 확률 모델

앞에서는, 랜덤 변수가 결합된 확률 분포에 대한 함수를 구했고,

또 그 함수를 바탕으로 각각의 랜덤 변수에 대한 marginal function을 구했다.

그리고 유도된 랜덤 변수에 대한 평균과 분산을 구해보았다.

 

 

이번에는 원래 랜덤 변수에 대해 알고 있을 때,

이로 부터 유도된 확률 변수의 PDF를 구하는 것을 목표로 하자.

 

 

유도된 랜덤 변수가 하나의 선형 함수의 모양일 경우

 

 

1.

랜덤 변수 X에 대한 분포를 알고 있다고 가정하자.

 

이 때 W는 다음과 같은 선형함수를 따른다.

 

 

 

 

 

$$W\;=\;aX \;\\ $$

 

 

 

 

 

이 때, W에 대한 CDF, PDF 를 표현해보면,

 

 

 

 

 

 

$$F_W(w)\;=\;F_X({w\over a}) \;\\ \;\\ \;\\ \;\\ f_W(w)\;=\;{1 \over a}f_X({w \over x })$$

 

 

 

 

2.

랜덤 변수 X에 대한 분포를 알고 있다고 가정하자.

 

이 때 W는 다음과 같은 선형함수를 따른다.

 

 

 

 

 

 

$$W\;=\;X+b$$

 

 

 

 

 

 

이 때, W에 대한 CDF, PDF 를 표현해보면,

 

 

 

 

 

 

$$F_W(w)\;=\;F_X({w-b}) \;\\ \;\\ \;\\ \;\\ f_W(w)\;=\;f_X({w-b })$$

 

 

 

 

 

 

 

두 랜덤 변수의 합의 PDF

 

 

 

 

 

 

 

$$f_W(w)\;=\;\int_{-\infin}^{\infin}f_{X,Y}(x, w-x)dx$$

 

 

$$f_W(w)\;=\;\int_{-\infin}^{\infin}f_{X,Y}(w-y, y)dy$$

 

 

 

 

 

 

 

독립일 때,

 

 

두 개의 독립인 연속 랜덤변수 X 와 Y의 합의 PDF는 X 의 PDF와 Y 의 PDF의 콘볼루션(convolution)이다.

 

 

 

 

 

 

$$f_W(w)\;=\;\int_{-\infin}^{\infin}f_{X}(x)f_Y(w-x)dx$$

 

 

 

 

$$f_W(w)\;=\;\int_{-\infin}^{\infin}f_{X}(w-y)f_Y(y)dy$$