[Stochastic Process] 13 - 조건부 확률 모델

사건에 의한 조건 붙이기

 

사건 B가 X의 집합에 속하는 집합일 때,

 

 

 

 

$$X\in B \subset S_X$$

 

 

 

 

 

사건 B가 발생한 조건에서 X의 조건부 확률 모델은 다음과 같다.

 

 

 

 

이산 확률 변수

 

 

 

 

 

 

$$P_{X|B}(x)\;=\; \begin{cases} {P_X(x) \over P[B]}, & \mbox x \in B \\ 0 & \mbox otherwise \end{cases}$$

 

 

 

 

 

 

연속 확률 변수

 

 

 

 

 

 

 

$$f_{X|B}(x)\;=\; \begin{cases} {f_X(x) \over P[B]}, & \mbox x \in B \\ 0 & \mbox otherwise \end{cases}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

전체를 분할한 사건들에 대한 정리

 

 

 

 

 

확률 시행 결과 전체를 분할한 사건들을 B1, B2...Bn이라 하자.

 

이 각각에 사건에 대한 조건부 확률 모델이 주어진다면,

 

X의 확률 모델을 다음과 같이 얻어진다.

 

 

 

 

 

 

$$P_X(x)\;=\;\sum_{i=1}^mP_{X|B_i}P[B_i]$$

 

 

 

$$f_X(x)\;=\;\int_{-\infin}^\infin f_{X|B_i}P[B_i]$$

 

 

 

 

 

 

 

 

조건부 기댓값

 

 

 

 

 

 

 

$$E[X|B]\;=\;\sum_{x\in B}xP_{X|B}(x)$$

 

 

$$E[X|B]\;=\;\int_{-\infin}^{\infin}xP_{X|B}(x)dx$$

 

 

 

 

 

 

 

전체를 분할한 상태에서 기댓값 정리

 

 

 

 

 

 

 

$$E[X]\;=\;\sum_{i=1}^mE[X|B_i]P[B_i]$$

 

 

 

 

 

 

 

 

유도된 랜덤 변수의 조건부 기댓값

 

 

 

 

 

 

 

$$Y\;=\;g(X)$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$$E[Y|B]\;=\;E[g(X)|B]\;=\;\int_{-\infin}^{\infin}g(x)f_{X|B}(x)dx$$

 

 

 

 

 

 

 

 

조건부 분산

 

 

 

 

 

 

 

$$Var[X|B]\;=\;E[(X-\mu_{X|B})^2]\;-\;\mu_{X|B}^2$$