[Stochastic Process] 15 - 랜덤 벡터 (Random Vector)

랜덤 벡터

앞서서 여러개의 랜덤 변수를 다뤄보았는데,

이제는 일반화하여, n개의 랜덤 변수를 다룰때의 표기법을 알아본다.

 

 

 

 

 

$$\bold {X}\;=\;[X_1\;X_2\;\cdots\;X_n]^T$$

 

 

 

 

 

 

표본값

 

 

 

 

 

$$\bold{x}\;=\;[x_1\;x_2\;\cdots\;x_n]$$

 

 

 

 

 

표기법의 변화

 

 

 

 

 

 

 

$$f_{X_1, X_2,\cdots,X_n}(x_1, x_2,\cdots ,x_n)\;=\;f_{\bold X}(\bold{x})$$

 

 

 

 

 

 

 

기댓값 벡터

 

 

 

 

 

 

$$E[\bold{X}]\;=\;\bold{\mu_X}\;=\;[E[X_1]\;E[X_2]\;\cdots\;E[X_n]]^T$$

 

 

 

 

 

 

 

랜덤 벡터의 상관

 

 

 

랜덤 벡터의 요소 i,j 와의 상관은, 다음과 같다.

 

 

 

 

 

$$R_\bold{X}(i,j)\;=\;E[X_iX_j]$$

 

 

 

 

 

 

모든 요소에 대해 상관을 계산하고, 벡터 표기법으로 표현하면 다음과 같다.

 

 

 

 

 

 

$$R_\bold{X}\;=\;E[\bold{XX^T}]$$

 

 

 

 

 

 

 

벡터 공분산

 

 

 

 

 

 

$$\bold{C_X}\;=\;E[(\bold{X}-\bold{\mu_X})(\bold{X}-\bold{\mu_X})^T]$$

 

 

 

 

 

 

상관과의 관계

 

 

 

 

 

 

 

$$\bold{C_X}\;=\;\bold{R_X}\;-\;\bold{\mu_X\mu_X^T}$$

 

 

 

 

 

벡터 교차 상관 (cross-correlation)

 

 

 

 

 

 

 

$$\bold{R_{XY}}\;=\;E[\bold{X}\bold{Y^T}]$$

 

 

 

 

 

 

 

 

벡터 교차 공분산

 

 

 

 

 

 

 

$$\bold{C_{XY}}\;=\;E[(\bold{X}-\bold{\mu_X})(\bold{Y}-\bold{\mu_Y})^T]$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

선형 관계가 있는 두 랜덤 벡터의 교차상관행렬과 교차공분산행렬

 

 

 

랜덤벡터 Y가 X와 선형적 관계가 있다고 하자.

 

 

 

 

 

 

$$\bold{Y}\;=\;\bar{\bold{A}}\bold{X}+\bold{b}$$

 

 

 

 

 

 

 

$$\bold{R_{XY}}\;=\;\bold{R_X}\bar{\bold{A}}^T+ \bold{\mu_X}\bold{\bar{b}^T}$$

 

 

 

 

 

 

 

$$\bold{C_{XY}}\;=\;\bold{C_X}\bar{\bold{A}^T}$$