[Stochastic Process] 14 - 다변수 조건부 확률 모델

결합 조건부 확률 모델

 

이산 일 때,

 

 

 

 

 

 

 

$$P_{X,Y|B}(x)\;=\; \begin{cases} {P_{X,Y}(x,y) \over P[B]}, & \mbox (x, y) \in B \\ 0 & \mbox otherwise \end{cases}$$

 

 

 

 

 

연속일 때,

 

 

 

 

 

 

 

$$f_{X,Y|B}(x,y)\;=\; \begin{cases} {f_{X,Y}(x,y) \over P[B]}, & \mbox (x, y) \in B \\ 0 & \mbox otherwise \end{cases}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

결합 조건부 기댓값

 

 

 

0이 아닌 확률을 갖는 사건 B에 대해,

 

랜덤 변수 W가 다음의 관계를 가진다고 하자.

 

 

 

 

 

 

$$W\;=\;g(x, y)$$

 

 

 

 

 

 

이 때 유도된 랜덤변수 W의 사건 B에 대한 조건부 기댓값은,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$$E[W|B]\;=\;\int_{-\infin}^{\infin}g(x, y)f_{X,Y|B}(x,y)dxdy$$

 

 

 

 

 

 

 

 

랜덤변수에 의한 조건 붙이기

 

이번에는 사건에 대해 조건부 확률을 구하는 것이 아닌,

 

하나의 랜덤 변수에 대한 조건부 확률 함수를 구해보자.

 

 

확률 밀도 함수에 대해서만 서술하겠다.

 

 

 

 

 

 

 

$$f_{X|Y}(x|y)\;=\;{f_{X,Y}(x,y)\over f_Y(y)}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

$$f_{Y|X}(y|x)\;=\;{f_{X,Y}(x,y)\over f_X(x)}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

독립일 경우

 

 

 

 

 

 

 

$$f_{X|Y}(x|y)\;=\;{f_{X,Y}(x,y)\over f_Y(y)}\;=\;f_X(x)$$

 

 

 

 

 

 

 

 

$$f_{Y|X}(y|x)\;=\;{f_{X,Y}(x,y)\over f_X(x)}\;=\;f_Y(y)$$