목록Mathmatics/Linear Algebra (6)
완숙의 블로그
[LinearAlgebra] 6 - QR Decomposition (QR 분해)
QR Decomposition QR 분해의 근본적인 이유는 무엇일까? 기존의 선형대수에 대한 글에서, 행렬은 하나의 공간을 매핑한다고 했다. 그리고 행렬 size가 정사각행렬이고, full rank일 때 n차원 공간을 매핑한다. 그런데 공간을 매핑하는데 있어, 굳이 orthogonal 할 필요는 없다. 즉 직교하는 축으로 공간이 매핑될 필요는 없다. 하지만, 우리는 직교축에 익숙하다! 또한 다루기도 매우 쉽다! 따라서 우리는 특정 행렬이 Orthogonal 한 행렬로 나타내어 진다면 다루기 굉장히 수월할 것이다! 필요성이 생겼으니 만들어보자. Assumption A 행렬의 모든 벡터는 선형 독립 이다. Idea 2 차원 공간에서 먼저 생각해보자. 우리가 하고 싶은 것은, A 벡터를 Orthogonal 한..
[LinearAlgebra] 5 - Aspects of Matrix Multiplication (행렬 곱셈의 여러 측면)
원소의 측면 R이 결과 행렬이라고 한다면, 행의 측면 행의 측면에서 행렬의 곱을 바라본다면, 내가 변환된 행렬이 오른쪽에 있다고 가정했을 때 판단하면 유용하다. A가 내가 관심을 두는 행렬이고, E가 변환을 하는 행렬이라 생각하자. 따라서 내가 원하는 행렬이 오른쪽에 있다면 그 행렬을 행벡터의 모임 으로 생각하고 왼쪽의 변환 행렬은 행방향 순서대로 상수배를 해주고 더한다는 개념으로 이해한다. 결과는 행벡터이다. 따라서, 열의 측면 이번에는 내가 관심이 있는 행렬이 왼쪽에 있다고 생각하자. 그렇다면, 따라서, 정리 기본 요소로 보았을 때 계산은, 식으로 나타냈을 때 굉장히 심플하다! 내가 원하는 행렬이 오른쪽에 있을 때는 행으로 본다! 내가 원하는 행렬이 왼쪽에 있을 때는 열로 본다!
[LinearAlgebra] 4 - LU Decomposition (LU 분해)
LU Decomposition LU 분해는 근본적으로 가우스 소거법의 방법을 차용한다. 가우스 소거법은 행의 조작을 통해, Upper Triangle Matrix 를 만드는 것이 핵심이다. 이 과정에서 우리는 행의 조작을 하는데, 윗삼각행렬을 만들기 위해 상수배와 더하기 빼기를 하는데, 이 과정을 행렬을 곱하는 것으로 대치하는 것이 전부이다. 먼저 가우스 소거법을 대치하는 행렬을 어떻게 만들지 부터 생각해보자. E 행렬 1행 * (1/2) + 2행의 결과를 2행에 넣어야 한다. 이 때, A 행렬을 다음과 같이 바라보자. 각각의 벡터는 행을 의미한다. 우리는 1, 3행은 그대로, 2행을 위의 연산을 수행한 뒤 넣어줘야 하므로, 다음과 같다. 이 행렬을 다음과 같이 사용하겠다. 그렇다면, 이 수행된 결과에 ..
[LinearAlgebra] 3 - Linear Independent, Guass-Jordan Method, Pivoting (선형 독립, 가우스-조르당 방법, 피보팅)
Linear Independence 하나의 행렬은 공간을 나타낸다고 볼 수 있다. 다음과 같은 행렬이 있다면, column 벡터를 보면, i, j, k를 나타냄을 알 수 있다. 그런데 만약에 각각의 벡터가 서로의 상수배를 한 관계를 가지고 있다면, 이 공간은 행렬 사이즈에 해당하는 공간을 매핑하지 못한다. 이 경우 우리는 행렬이 선형 종속 이라 말한다. 반대로 공간을 매핑할 수 있다면 선형 독립 이라 말한다. 이것을 수식으로 판단해보면, 위 식을 만족하는 e 벡터가 0 벡터인 경우 a .. 벡터들은 선형 독립 이라 한다. 선형 독립이 되기 위해서는 위의 행렬식에서, Determinant 가 존재해야만 한다. 즉, 비특이행렬 이어야 하고, 위 식의 해인 e 벡터는 0 벡터로 유일 해야 한다. Rank 행렬..
[LinearAlgebra] 2 - Determinant, Inverse Matrix, Orthogonal Matrix (행렬식, 역행렬, 직교행렬)
Determinant Inverse Matrix Definition 정사각행렬에서 정의된다. Determinant 에 따른 구분, 그리고 의미 Determinant 가 존재한다. 역행렬이 존재한다. 비특이행렬 (Non-Singular Matrix) 이 행렬이 다른 벡터에 곱해졌을 때, 차원의 크기가 유지된다. 방정식의 해가 하나로 정해진다. Determinant 가 존재하지 않는다. 역행렬이 존재하지 않는다. 특이행렬 (Singular Matrix) 이 행렬이 다른 벡터에 곱해졌을 때, 차원의 크기가 축소된다. 방정식의 해가 무수히 많다. 성질 Orthogonal Matrix
[LinearAlgebra] 1 - Types of Matrix, Matrix Transformation (행렬의 종류, 전치행렬)
Types of Matrix Square Matrix Rectangular Matrix Zero Matrix Symmetric Matrix Upper-Triangle Matrix Lower-Triangle Matrix Diagonal Matrix Identity Matrix Skew-Symmetric Matrix Matrix Transformation 전치 행렬은 정사각행렬에서, 행과 열의 숫자가 같은 요소들을 기준으로 하는 선으로 행렬을 대칭 시킨 것을 말한다. 성질