[LinearAlgebra] 2 - Determinant, Inverse Matrix, Orthogonal Matrix (행렬식, 역행렬, 직교행렬)

Determinant

 

$$det(I)\;=\;1\\ \;\\ det(A^T)\;=\;det(A)\\ \;\\ det(AB)\;=\;det(A)det(B)\\ \;\\ det(cA)\;=\;c^ndet(A)$$

 

 

Inverse Matrix

Definition

정사각행렬에서 정의된다.

 

 

$$AA^{-1}\;=\;A^{-1}A\;=\;I$$

 

 

 

Determinant 에 따른 구분, 그리고 의미

• Determinant 가 존재한다.

  • 역행렬이 존재한다.

    • 비특이행렬 (Non-Singular Matrix)
    • 이 행렬이 다른 벡터에 곱해졌을 때, 차원의 크기가 유지된다.
    • 방정식의 해가 하나로 정해진다.

 

• Determinant 가 존재하지 않는다.

  • 역행렬이 존재하지 않는다.

    • 특이행렬 (Singular Matrix)
    • 이 행렬이 다른 벡터에 곱해졌을 때, 차원의 크기가 축소된다.
    • 방정식의 해가 무수히 많다.

 

 

성질

 

 

$$1.\;(AC)^{-1}\;=\;C^{-1}A^{-1}\\ \;\\ 2.\;(AC\dots PQ)^{-1}\;=\;Q^{-1}P^{-1}\dots B^{-1}A^{-1}\\ \;\\ 3.\;(A^{-1})^{-1}\;=\;A\\ \;\\ 4.\;(A^{-1})^T\;=\;(A^{T})^{-1}$$

 

 

 

Orthogonal Matrix

 

 

$$A^TA\;=\;AA^T\;=\;I\\ \;\\ A\;=\;A^{-1}\\$$