[LinearAlgebra] 5 - Aspects of Matrix Multiplication (행렬 곱셈의 여러 측면)

원소의 측면

R이 결과 행렬이라고 한다면,

 

 

$$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} 1\times1+2\times0 & 1\times1+2\times3\\ 4\times1+3\times0 & 4\times1+3\times3 \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 13 \end{bmatrix}$$

 

 

 

$$R\;=\;[r_{ij}]\;=\;\sum_{k=1}^2a_{ik}b_{kj}$$

 

 

행의 측면

행의 측면에서 행렬의 곱을 바라본다면,

내가 변환된 행렬이 오른쪽에 있다고 가정했을 때 판단하면 유용하다.

 

A가 내가 관심을 두는 행렬이고,

E가 변환을 하는 행렬이라 생각하자.

 

 

$$R\;=\;EA\;=\; \begin{bmatrix} 1 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} 1 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overset{\rightarrow}{x_1}\\ \overset{\rightarrow}{x_2} \end{bmatrix}\;=\; 1\times\overset{\rightarrow}{x_1}+2\times\overset{\rightarrow}{x_2} \;=\;[1\;\;\;7]$$

 

 

따라서 내가 원하는 행렬이 오른쪽에 있다면

그 행렬을 행벡터의 모임 으로 생각하고

왼쪽의 변환 행렬은 행방향 순서대로 상수배를 해주고 더한다는 개념으로 이해한다.

결과는 행벡터이다.

 

따라서,

 

 

$$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overset{\rightarrow}{x_1}\\ \overset{\rightarrow}{x_2} \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} 1\times\overset{\rightarrow}{x_1}+2\times\overset{\rightarrow}{x_2}\\ 4\times\overset{\rightarrow}{x_1}+3\times\overset{\rightarrow}{x_2} \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 13 \end{bmatrix}$$

 

 

열의 측면

이번에는 내가 관심이 있는 행렬이 왼쪽에 있다고 생각하자.

그렇다면,

 

 

$$R\;=\;AE\;=\; \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} \overset{\rightarrow}{x_1} & \overset{\rightarrow}{x_2}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix}\;=\; \overset{\rightarrow}{x_1}\times1+\overset{\rightarrow}{x_2}\times3 \;=\; \begin{bmatrix} 7\\ 13 \end{bmatrix}$$

 

 

따라서,

 

 

$$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} \overset{\rightarrow}{x_1} & \overset{\rightarrow}{x_2}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} \overset{\rightarrow}{x_1}\times1+\overset{\rightarrow}{x_2}\times0 & \overset{\rightarrow}{x_1}\times1+\overset{\rightarrow}{x_2}\times3 \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 13 \end{bmatrix}$$

 

 

정리

 

1. 기본 요소로 보았을 때 계산은,

   식으로 나타냈을 때 굉장히 심플하다!

2. 내가 원하는 행렬이 오른쪽에 있을 때는 행으로 본다!

3. 내가 원하는 행렬이 왼쪽에 있을 때는 열로 본다!