[LinearAlgebra] 1 - Types of Matrix, Matrix Transformation (행렬의 종류, 전치행렬)

Types of Matrix

$$\bold A\;=\;[a_{ij}]\\ \;\\ i\;=\;m\;:row\;size\\ j\;=\;n\;\;:col\;size\\$$

 

Square Matrix

$$m\;=\;n$$

 

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$

Rectangular Matrix

$$m\; \ne\;n$$

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2\\ -1 & 0 & 3\\ -2 & -3 & 0\\ 9 & 3 & 6 \end{bmatrix}$$

 

Zero Matrix

$$all\;[a_{ij}]\;=\;0$$

 

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Symmetric Matrix

$$a_{ij}\;=\;a_{ji}$$

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 3\\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix}$$

Upper-Triangle Matrix

$$a_{ij}\;=\;0\;\;\;\;i>j$$

$$\begin{bmatrix} 7 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$

Lower-Triangle Matrix

$$a_{ij}\;=\;0\;\;\;\;j<i$$

$$\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 6 & 8 & 3 \end{bmatrix}$$

 

Diagonal Matrix

$$a_{ij}\;=\;0\;\;\;\;if\;j\ne i$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$

Identity Matrix

$$a_{ij}\;=\;0\;\;\;\;if\;\;i\ne j\\ a_{ij}\;=\;1\;\;\;\;if\;\;i=j$$

 

Skew-Symmetric Matrix

$$a_{ij}\;=\;-a_{ji}$$

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2\\ -1 & 0 & 3\\ -2 & -3 & 0 \end{bmatrix}$$

 

 

Matrix Transformation

전치 행렬은 정사각행렬에서,

행과 열의 숫자가 같은 요소들을 기준으로 하는 선으로

행렬을 대칭 시킨 것을 말한다.

$$Before\;Transformation\\ \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1\\ -1 & 3 & 1\\ -1 & -1 & 3 \end{bmatrix}$$

$$After\;Transformation\\ \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1\\ 1 & 3 & -1\\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$$

 

성질

$$1. \;(A^T)^T\;=\;A\\ \;\\ 2.\;(A+B)^T\;=\;A^T+B^T\\ \;\\ 3. \;(cA)^T\;=\;cA^T\\ \;\\ 4.\;(AB)^T\;=\;B^TA^T\\ \;\\ 5.\;if\;\;A^T\;=\;A\;,\;A\;is\;Symmetric\\ \;\\ 6.\;A^T\;=\;-A\;,\;A\;,\;A\;is\;Skew-Symmetric\\ \;\\ 7.\;I^T\;=\;I\;,\;O^T\;=\;O$$