[Stochastic Process] 6 - Function of Random Variables

유도된 랜덤변수

랜덤 변수 X를 송수신한 데이터의 메가바이트 단위의 양이라고 하자.

그리고 Y를 해당 월의 요금이라고 하자.

그렇다면 Y와 X는 어떠한 함수로서 표현이 가능할 것이다.

 

이 때 Y를 유도된 랜덤변수 라고 한다.

 

 

$$Y = g(X)$$

 

유도된 랜덤변수의 PMF

자 여기서 X는 이산 랜덤변수이기 때문에, 랜덤 변수 X 는 PMF를 갖는다.

이 정보를 가지고 우리는

 

$$P_X(x) \;=\;P(X=x)$$

 

을 구할 수 있다.

 

그런데 우리는 Y의 값에 따른 확률, 즉 Y의 PMF를 구해야 한다.

Y와 X간의 관계가 정의되어 있고, X도 이산 랜덤변수이므로, Y역시 이산랜덤변수이다.

따라서 랜덤 변수 Y도 PMF를 가지게 된다.

 

그런데 여기서 X의 값에 따라 Y의 값이 결정되는데,

이해를 돕기 위해 예를 들어보자.

 

 

$$Y = (X-1)(X-4)$$

 

 

이런 관계를 갖고 있다고 할 때,

$X=2, X=3$ 일 경우 $Y$ 의 값은 둘다 -2로 고정된다.

따라서 $Y=-2$ 인 경우

 

$$P_Y(-2)\;=\;P(Y=-2)\;=\;P_X(X=2)+P_X(X=3)$$

 

이다.

 

따라서 이것을 수학적으로 정리해서 나타내면,

 

$$P_Y(y)\;=\;\sum_{x:g(x)=y}P_X(x)$$

 

 

이렇게 된다!

 

 

 

유도된 랜덤변수의 기댓값

특정 Y의 범위에 대한 확률을 구할 때는 $P_Y(y)$ 를 구해야 하지만,

$E[Y]$ 는 이것을 구하지 않고 $P_X[x], g(X)$ 로 부터 구할 수 있다.

 

 

$$E[Y]\;=\;\mu_Y\;=\;\sum_{x\in S_X}g(x)P_X(x)$$

 

증명

 

 

$$E[Y]\;=\;\sum_{y\in S_Y}yP_Y(y)\;=\;\sum_{y\in S_Y}y\sum_{x:g(x)\in y}P_X(x)\;=\;\sum_{y\in S_Y}\sum_{x:g(x)\in y}g(x)P_X(x)\;=\;\sum_{x\in S_X}g(x)P_X(x)$$

 

 

마지막 단계에서 시그마 두개를 하나로 바꿀 수 있는 이유는,

잘 생각해보면 X의 표본 공간의 요소를 다 건드리고 있음을 알 수 있다.

 

 

선형으로 유도된 랜덤 변수의 기댓값과 분산

 

 

$$E[aX+b]\;=\;aE[X]+b\\ \;\\ Var[aX+b]\;=\;a^2Var[X]$$

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