[Stochastic Process] 4 - 6 Category of PMF

Bernoulii Random Variables

$$P_X(x)\;=\begin{cases} 1-p & \mbox{if }x\mbox{=0} \\ p & \mbox{if }x\mbox{=1} \\ 0 & \mbox{}otherwise\mbox{} \end{cases}$$

 

두 개의 가능한 결과만을 갖는 부분확률 실험을 베르누이 시행이라 한다.

 

 

 

 

 

Geometric Random Variables

두 개의 결과 중 어떤 한 특정 결과를 최초로 관찰할 때 까지의 베르누이 시행 횟수를 기하랜덤변수라 한다.

 

$$P_X(x)\;=\begin{cases} p(1-p)^{x-1} & \mbox{if }x\mbox{=1,2,} \cdots \\ 0 & \mbox{}otherwise\mbox{} \end{cases}$$

 

p는 마지막에 결과가 출력되는 확률!

 

 

 

 

 

 

Binomial Random Variables

n번 시행중 x 번이 나오는 횟수를 X라 하면, X는 이항 랜덤 변수이다.

 

$$P_X(x)\;={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}$$

 

 

 

 

 

Pascal Random Variables

특정 시행 횟수를 만족할 때까지의 확률을 계산한 PMF 가 있다면 이는 파스칼 랜덤 변수이다.

 

$$P_X(x) = {x-1 \choose k-1}p^k(1-p)^{x-k}$$

 

식을 잠깐 뜯어보면, x번째에서 k번 성공할 확률은, x-1번째까지의 경우에서 k-1 번째까지 성공할 경우를 모두 구하고

마지막에 x번째에서 성공할 확률 p를 곱해주면 된다.

 

 

 

 

Uniform Random Variables

모든 표본 공간의 원소에 대응하는 확률이 일정할 때, 이 때 X를 균등 랜덤변수라 한다.

 

$$P_X(x) = \begin{cases} 1/(l-k+1) & \mbox{if }x = k, k+1,k+2\;\cdots \\ 0 & \mbox{otherwise }\mbox{} \end{cases}$$

 

 

 

 

 

Poisson Random Variables

무작위한 시간에 발생하는 현상을 설명하는데 주로 사용한다.

각각의 발생은 완전히 임의이다.

관심이 되는 사건의 발생을 '도착' 이라 부른다.

일 초당 도착하는 평균 비율 $\lambda$ 와 시간간격 T 초를 명시한다.

이 때, 이 시간안에 도착하는 횟수 X는 $\alpha = \lambda \times T$ 인 포아송 분포를 갖는다.

 

$$P_X(x) \; =\;\begin{cases} \alpha^xe^{-\alpha}/x! & \mbox{}x = 0,1,2\;\cdots \\ 0 & \mbox{otherwise }\mbox{} \end{cases}$$