[Stochastic Process] 2 - Axioms of Probability, Bayes' theorem

확률 모델에서는 개개의 사건에 0과 1 사이의 실수를 부여하고 이를 그 사건의 확률이라 한다.

상호배타적인 사건들의 합집합의 확률은 그 합집합을 구성하는 개개의 사건의 확률의 합이 된다.

 

저번까지 확률과 집합론은 연결한 결과는 다음과 같다.

Set Theory	Probability
부분집합	사건
전체집합	표본공간
원소	결과

 

그렇다면 전체집합 S 에서, 각각의 부분집합인 사건에 대해 확률을 부가하는 일이 남아있다.

$$P[A]$$

 

 

 

 

Axioms of Probability

확률 P[.] 란 표본공간에서 정의되는 사건에 다음을 만족하는 실수를 부여하는 함수 이다.

공리1 : 임의의 사건 A에 대해서 P[A] >= 0 이다.

공리2 : P[S] = 1

공리3 : 상호배타적인 사건 A1, A2 ... 에 대해

$$P[A_1\;\cup\;A_2\;\cup\;...]\;=\;P[A_1]\;+\;P[A_2]\;+\;...$$

 

 

이 공리 3개로 부터 모든 정의가 발생한다.

 

 

 

조건부 확률

사건 B가 발생했다는 조건에서 사건 A가 발생할 확률을 조건부 확률이라고 정의하고, 다음과 같이 계산한다.

$$P[A|B] = {P[AB]\over P[B]} \;\;\;P[B]>0$$

 

 

 

Bayes' Theorem

 

 

사전에 특정된 $ P[A|B] $ 사전 확률로 부터, 측정되지 않은 $P[B|A]$ 를 추정할 수 있다.

 

 

$$P[B|A]\;=\;{P[A|B]P[B] \over P[A]}$$

 

 

 

 

 

증명

$$P[BA] = {P[BA]\over P[A]}\\ \\\;\\ P[BA] = P[AB] = P[A|B]P[B]\\ \;\\ P[BA] = {P[BA]\over P[A]} = {P[A|B]P[B]\over P[A]}$$

 

 

 

 

 

독립사건

$$P[AB] = P[A\cap B] = P[A]P[B]$$