완숙의 블로그

앞에서는, 랜덤 변수가 결합된 확률 분포에 대한 함수를 구했고, 또 그 함수를 바탕으로 각각의 랜덤 변수에 대한 marginal function을 구했다. 그리고 유도된 랜덤 변수에 대한 평균과 분산을 구해보았다. 이번에는 원래 랜덤 변수에 대해 알고 있을 때, 이로 부터 유도된 확률 변수의 PDF를 구하는 것을 목표로 하자. 유도된 랜덤 변수가 하나의 선형 함수의 모양일 경우 1. 랜덤 변수 X에 대한 분포를 알고 있다고 가정하자. 이 때 W는 다음과 같은 선형함수를 따른다. 이 때, W에 대한 CDF, PDF 를 표현해보면, 2. 랜덤 변수 X에 대한 분포를 알고 있다고 가정하자. 이 때 W는 다음과 같은 선형함수를 따른다. 이 때, W에 대한 CDF, PDF 를 표현해보면, 두 랜덤 변수의 합의 P..

결합 누적 분포 함수 (joint cummulatice Distribution Function) 이산일 때, 연속일 때, 결합 확률 함수 결합 확률 질량 함수 (Joint Probability Mass Function) 확률 구하기 결합 확률 밀도 함수(Joint Probability Density Function) 확률 구하기 한계 확률 함수 (Marginal Function) 한계 확률 질량 함수 (Marginal PMF) 한계 확률 밀도 함수 (Marginal PDF) 두 랜덤 변수를 인자로 가지는 함수의 기댓값 유도된 랜덤 변수 W 가 랜덤변수 X, Y 와 다음의 관계가 있다고 할 때, 이산일 때, 연속일 때, 유도된 랜덤 변수가 합으로 표현될 때 평균(중요) 유도된 랜덤 변수가 합으로 표현될 때..

Mixed Random Variable 혼합형 랜덤 변수는 쉽게 말해, 이산 랜덤 변수와 연속 랜덤 변수의 특징을 둘다 갖고 있는 확률 분포를 말한다. 그런데 지금까지 배운 것을 다시 생각해보면, 이산 확률 변수와 연속 확률 변수의 본질은 다르다. 이산 확률 변수에 대한 확률 함수를 나타내 보면, 함수값 자체가 확률을 의미하고, (확률 질량 함수) 연속 확률 변수에 대한 확률 함수를 보면, 기본적으로, 적분값이 확률이다. (확률 밀도 함수) 그리고 애초에 우리는 이산 확률 변수에 대해 공부할 때, CDF와 P(x)만 공부했다. PDF는 다루지 않았다. 그렇다면 이제 P(x)를 가지고 연속 확률 변수와 같이 통합을 해줘야 할 필요성이 생겼는데, 어떻게 하면 될까? Delta Function 이 때, 단위 ..

Uniform Random Variable 균등 랜덤 변수 Exponential Random Variable 지수 랜덤 변수 지수 랜덤변수 X를 가지고 새로운 랜덤변수를 정의해보자. 랜덤변수 K를 X를 넘는 최소정수라 했을 때 K는 기하 랜덤변수이다. 기하 랜덤 변수는, 직관적으로 이해할 때, n번째 고객이 방문할 확률이라고 생각할 수 있다. 이것을 연속확률변수로 표현한 것이 지수 랜덤 변수이다. Erlang Random Variable 얼랑 랜덤 변수 식을 보면 이게 무슨 뜻인지 이해하기 힘들다. 지수 랜덤 변수가 기하 랜덤 변수를 연속 확률 변수로 가져온 것이라 생각하면 얼랑 랜덤 변수는 파스칼 랜덤 변수를 연속 확률 변수로 가져온 것이라 생각하면 된다. 이것에 대한 증명은, 중심 극한 정리를 배우고..

확률 밀도 함수는 고등학생 때 배워와서 비교적 친근하 것이다. 그런데, 내가 공부를 하며 궁금했던 점은, 왜 확률밀도함수의 함수값이 확률을 뜻하는 것이 아닌, 넓이가 확률이냐는 점이었다. 그리고 왜 밀도함수인지 정확한 이유도 알기 힘들었다. 그에 대한 답을 링크로 대체하고 시작하겠다. 확률질량, 확률밀도함수의 의미? 누적 분포 함수(CDF) 정리 확률 밀도 함수(PDF) 랜덤 변수 X가 (x1, x1 + delta] 라는 너비에 속해있을 때 확률 p1은. CDF의 정리에 의해, CDF의 그래프에서 볼때, 이 값은 평균기울기에 해당한다. 이 때, delta를 무한히 작게 하면, 결국 p1은 밀도에 부피를 곱한 것처럼, CDF의 기울기와 구간너비의 곱으로 표현 가능하다. 우리는 이 식중, CDF를 미분한 녀..

유도된 랜덤변수 랜덤 변수 X를 송수신한 데이터의 메가바이트 단위의 양이라고 하자. 그리고 Y를 해당 월의 요금이라고 하자. 그렇다면 Y와 X는 어떠한 함수로서 표현이 가능할 것이다. 이 때 Y를 유도된 랜덤변수 라고 한다. 유도된 랜덤변수의 PMF 자 여기서 X는 이산 랜덤변수이기 때문에, 랜덤 변수 X 는 PMF를 갖는다. 이 정보를 가지고 우리는 을 구할 수 있다. 그런데 우리는 Y의 값에 따른 확률, 즉 Y의 PMF를 구해야 한다. Y와 X간의 관계가 정의되어 있고, X도 이산 랜덤변수이므로, Y역시 이산랜덤변수이다. 따라서 랜덤 변수 Y도 PMF를 가지게 된다. 그런데 여기서 X의 값에 따라 Y의 값이 결정되는데, 이해를 돕기 위해 예를 들어보자. 이런 관계를 갖고 있다고 할 때, $X=2, X..

Cumulative Distribution Function, CDF 이산 랜덤변수인 경우에는 x 이하 모든 변수의 값을 더한다. 연속 랜덤변수인 경우에는 -무한대로 부터 해당 랜덤변수값까지의 적분값이다. 특정한 범위에 속할 확률 Mean 평균은 확률실험의 관찰 값들의 집합을 대변하는 수이다. 기댓값은 확률 실험의 확률 모델을 나타내는 수이다. 평균과 기댓값을 우리는 같은 단어로 지금까지는 생각해 왔을지 모른다. 하지만 이것은 약간의 다른점이 존재하는데, 평균 값은 실제 실험이 진행된 결과 집합에 대해 이를 대변하는 수이고, 기댓값 은 내가 만든 확률 모델의 집합을 대변하는 수이다. 기댓값의 계산 Sample space 의 원소에 속하는 각각의 x에 대해 그 해당 확률을 곱하고 모두 더한 것. 이 식은, ..

Bernoulii Random Variables 두 개의 가능한 결과만을 갖는 부분확률 실험을 베르누이 시행이라 한다. Geometric Random Variables 두 개의 결과 중 어떤 한 특정 결과를 최초로 관찰할 때 까지의 베르누이 시행 횟수를 기하랜덤변수라 한다. p는 마지막에 결과가 출력되는 확률! Binomial Random Variables n번 시행중 x 번이 나오는 횟수를 X라 하면, X는 이항 랜덤 변수이다. Pascal Random Variables 특정 시행 횟수를 만족할 때까지의 확률을 계산한 PMF 가 있다면 이는 파스칼 랜덤 변수이다. 식을 잠깐 뜯어보면, x번째에서 k번 성공할 확률은, x-1번째까지의 경우에서 k-1 번째까지 성공할 경우를 모두 구하고 마지막에 x번째에서..