[Stochastic Process] 18 - 표본 평균, 추정, 신뢰구간 (sample mean, estimation, confidence interval)

표본 평균

 

 

 

 

표본 평균의 기댓값과 분산

 

 

 

 

 

파라미터 추정에 사용되는 부등식

 

마르코프 부등식

 

 

 

 

 

체비셰프 부등식

 

 

 

 

 

모델 파라미터의 점 추정

 

치우침이 없다, (no bias)

 

모든 갑들의 평균, 즉 큰 범위에서 보았을 때, r과 같다면, 치우침이 없다고 한다.

 

 

 

 

 

$$E[\hat{R}]\;=\;r$$

 

 

 

 

R hat은 추정 수열이다.

 

 

평균제곱오차 (MSE)

 

 

 

 

 

$$e\;=\;E[(\hat{R}-r)^2]$$

 

 

 

 

 

 

만약 R hat이 치우침이 없는 추정, 즉, R hat의 평균이 r일때,

평균제곱오차는 R hat의 분산이다.

 

 

일관된 추정기

 

추정 수열 여러개의 값들이 어떤 하나의 값들로 모두 찍힌다면,

그것을 우리는 일관되다 한다.

 

수식으로 나타내면,

 

 

 

 

 

 

 

만약, R hat이 치우침이 없는 추정이라고 한다면,

위에 적은 MSE가 0으로 수렴함을 보이는 것과 동치이다.

 

 

 

모델 파라미터의 신뢰구간 추정

 

위에서, 점추정에 대해서 설명했다.

그러면서, 결국 하고 싶은 말은, 표본 평균의 기댓값이 실제 평균에 근사한다는 사실을 알았다.

 

 

하지만, 이것은 표본이 무한대일때 이며, 실제로는 그 관계를 가질 수 없다.

 

따라서 우리는 체비셰프 부등식에 Y를 Mn(X) 표본 평균으로 대치하여,

특정 n에 대해 이 표본 평균이 평균과 어떤 관계가 있는지 알아야 한다.

 

 

 

 

신뢰구간, 신뢰 계수