[SystemDynamics] 8 - Dynamically Driven System, Newton Euler Equations ,D'alemberts's principle (뉴턴 오일러 방정식 ,달랑베르의 원리)

Newton Euler Equations

 

 

Reference point(O^i) 가 강체 i 의 질량중심에 위치해 있다고 생각하자.

 

 

$$m^ia_x^i\;=\;F_x^i\\ m^ia_y^i\;=\;F_y^i\\ J\theta^{\cdot \cdot}\;=\;M^i$$

 

 

M은 net Moment, J는 강체의 관성모멘트, F는 net force 이다.

 

 

따라서 2차원 공간에서 작용할 수 있는 3가지 자유도에 대한 힘과 모멘트는,

질량 중심에 작용하는 3가지 Term 으로 정리된다.

 

 

 

D'Alembert's Principle

 

 

$$\sum_i(\overset{\rightarrow}{F_i}-m_i\overset{\rightarrow}{a_i})\cdot \delta \overset{\rightarrow}{r_i}\;=\;0$$

 

 

여기서 delta r 벡터는 Virtual displacement 라 한다.

 

Virtual Displacement

 

• 이 항은 시스템의 무한히 작은 변화를 가정했을 때 변위를 의미한다.
• 즉, 시간이 constant 일 때, 계의 변위를 측정한 것이다.
• 우리는 이것을 가상 변위라 부르는데, 실제로 시간이 상수일 때, 변위는 없기 때문이다.

 

 

 

식을 정리하면, 다음과 같이 정리된다.

 

 

 

D'Alembert's Equation

 

 

$${d \over dt}{\partial\large \mathcal{L} \over\partial \overset{\cdot}{q_j}}\;-\; {\partial\large \mathcal{L} \over\partial {q_j}}\;=\; Q_j^{nc}+Q_j^e$$

 

 

$$\mathcal{L}(Lagrangian)\;=\;T-V(kinetic\;E\;-\;potential\;E)\\ \;\\ nc\;=\;non\;conservative\;forse\\ \;\\ e\;=\;eternal\;force\\ \;\\$$

 

 

 

여기서 q_j 는 다음과 같은 것들이 될 수 있다.

 

$$\overset{\rightarrow}{q}\;=\; \begin{bmatrix} [R_x^1& R_y^1 & \theta^1] & [R_x^2& R_y^2 & \theta^2] & [R_x^3 & R_y^3 & \theta^3] \end{bmatrix}^T \\ \;\\ \;=\; \begin{bmatrix} q_1& q_2& q_3& q_4& q_5& q_6& q_7& q_8& q_9 \end{bmatrix}^T$$