[SystemDynamics] 2 - Kinematics of Planer Multibody Systems (평면에서 다물체계의 운동학)

Kinematics of Planer Multibody Systems

평면에 놓인 특정 물체를 나타내려면 어떻게 해야할까?

그 물체를 나타내기 위해 우리는 기준을 잡아서 설명해야 할 것이다.

즉 절대좌표 가 필요하다.

 

먼저 물체의 질량 중심을 가리키는 좌표가 존재할 것이고, (x, y)

그리고 그 물체의 형상을 나타낼 때에 기준으로 잡은 상대좌표 가 필요하다.

이유는 물체는 위치정보 이외에도 회전에 대한 정보도 있기 때문에

이것을 표현하기 위해서는 물체기준으로 만들어진 기준이 필요하다.

즉 절대좌표와 상대좌표가 얼마나 회전했는지에 대한 지표가 필요하다.

 

 

 

• 2D

  Rx, Ry, T : 3개

• 3D

  Rx, Ry, Rz, Tx, Ty, Tz : 6개

 

 

 

Degree Of Freedom

계의 운동을 정확히 표현하기 위해 필요한 최소한의 좌표 수 를 자유도라 한다.

$$dof\;k\;=\;n\;coordinates \;-\;m\;independent\;equations\;of\;constraint$$

 

 

좌표계의 총 개수

여기서 n coordinates는 해당 시스템의 좌표의 총 개수를 의미한다.

coordinates의 개수 n은, 해당 시스템의 물체수와 관련이 있다.

 

 

 

이와 같은 시스템이 있을 때,

이 시스템을 나타내기 위해서는,

절대좌표, 또 각각의 물체에서 사용해야하는 좌표계까지

$$3 + 3\times3\;=\;12$$

12개이다.

우리는 보통 Ground를 절대좌표로 잡으며,

그렇기 때문에 이 시스템을 볼때,

Ground, 크랭크, 커플러, 종동절 총 4개의 물체가 있다고 생각하고

각각의 물체가 2D에서 정의되어 있기 때문에

각각의 좌표계는 Rx, Ry, T 3개씩의 좌표가 필요하다.

 

따라서 12개가 총 필요한 좌표계의 수이다.

 

 

구속식의 개수

그런데 저 시스템의 자유도는 1이었다.

그렇다면, 1개의 좌표만이 저 시스템의 운동학적 형상을 결정짓는데

영향을 준다는 얘기인데, 다른말로 하면

제약 조건이 11개라는 소리다.

 

그 제약조건은 어떤 것 때문에 발생할까?

 

각각의 물체에 연결되어 있는 Joint 때문이다.

이 시스템에서 각각의 Joint는 연결되어 있는 물체가

길이방향, 길이에 수직인 방향으로 움직이는 것을 제한하고 있다.

$$4\;\times\;2 = \;8$$

8개의 제약이 Joint에서 발생한다.

 

또한, Ground는 이 시스템 전체에서 기준점 역할을 하고 있다.

위에서 3개의 좌표를 가질 수 있다고 계산은 했지만,

Rx, Ry, T 각각이 상수값을 가져야 하므로,

제약 역시 세 좌표에 대해서 가지고 있다.

$$Rx\;=\;c_1,\;\;R_y\;=\;c_2,\;\;\theta\;=\;c_3$$

따라서 Ground 에 대한 제약은 3이다.

결론적으로 전체 제약 조건은,

$$8\;+\;3\;=\;11$$

11이다.

 

DOF calculation

그래서 DOF는 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$n\;=\;3\;\times\;4\\ \;\\ m\;=\;3\;+\;2\;\times\;4\\ \;\\ dof\;k\;=\;n\;-m\;=\;12\;-\;11\;=\;1$$

 

 

 

Types of Mechanical Joints

 

 

1. Prismatic Joint (Translational joint)

   한 방향으로만 움직일 수 있게 만든 joint

   따라서 2D 인 경우 제약 조건은 2이다.

   3D 인 경우 제약 조건은 5이다.

2. Revolute Joint (Pin joint)

   한 방향으로 회전할 수 있게 만든 joint

   따라서 2D 인 경우 제약 조건은 2이다.

   3D 인 경우 제약 조건은 5이다.

3. Cylindrical Joint

   회전과 한 방향으로 움직일 수 있게 만든 joint

   이 joint 경우 2D에서는 사용할 수 없다.

   3D 인 경우 제약 조건은 4이다.

4. Spherical Joint (ball Joint)

   세 방향으로 회전만 가능하게 만든 joint

   따라서 2D 인 경우는 정의되지 않는다.

   3D 인 경우 제약 조건은 4이다.